（回答）

１　労働契約法改正の目的
　１年契約，６か月契約など有期労働契約で働く労働者は，全国で１２００万人と推計されています。
　そして，有期労働契約で働く人の約３割が，通算５年を超えて有期労働契約を繰り返し更新している実態にあり、その下で生じる雇用止めの不安の解消が課題とされていました。
　そこで，この課題に対処し，労働者が安心して働き続けることができる社会を実現するという目的で労働契約法が改正され（平成２４年８月１０日公布），労働者に無期労働契約への転換を求める権利（無期転換申込権）が認められました。

２　無期転換申込権が認められる労働者とは？　
　無期転換申込権が認められる労働者とは，同一の使用者との間で，有期労働契約が通算で５年を超えて反復更新された労働者です。
　この場合，労働者は，その５年を超える契約期間の初日から末日までの間に，無期労働契約への転換の申込みをすることができます（労働契約法１８条１項）。
　なお，通算契約期間のカウントは，平成２５年４月１日以後に開始する有期労働契約が対象となります。
　例えば，契約期間が３年の場合，平成２５年４月１日から有期労働契約が開始し，一回契約を更新すると，更新した有期労働契約の期間は，平成２８年４月１日から平成３１年３月３１日までとなります。
　この更新した有期労働契約の期間は，更新前の有期労働契約と合わせると契約期間が通算して６年となり，５年を超えます。
　したがって，労働者は，更新した有期労働契約期間中に（平成２８年４月１日から平成３１年３月３１日まで），無期労働契約への変更の申込をすることができます。
　この申込みをすると，平成３１年４月１日から，無期労働契約に転換します。
　また，平成２４年４月１日から１年契約を反復更新する場合は，次のようになります。 　
　すなわち，通算期間のカウントは，成２５年４月１日以後に開始する有期労働契約が対象となりますので，１回契約を更新した後の平成２５年４月１日から始まる契約から５年のカウントが始まります。
　したがって，６回契約を更新して初めて通算契約期間が５年を超えますので，６回契約を更新して平成３０年４月１日から始まる契約期間中に，労働者は，無期労働契約への変更の申込みをすることができます。

３　空白期間があった場合には　
　以上，無期転換申込権について基礎を説明しましたが，その他にも，通算契約期間の計算において空白期間があった場合に，どの程度の空白期間であれば連続したものと扱われるのか，また事前に無期転換申込権を放棄させることができるのかなどの法的問題もありますので，無期労働契約の転換については一度弁護士にご相談されることをお勧めします。